जर दोन संख्यांच्या वर्गांच्या बेरीजची बेरीज 80 असेल आणि दोन संख्यांमधील फरकाचा वर्ग 36 असेल तर दोन संख्येचे उत्पादन किती आहे?


उत्तर 1:

उत्तर 22 आहे.

दोन संख्या x आणि y असाव्यात.

दिलेल्या अटी आहेतः

  • दोन संख्यांच्या वर्गांची बेरीज 80.x² + y² = 80 आहे दोन संख्यांमधील फरकाचा वर्ग 36 आहे. (Xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

दुसरी अट घ्या आणि x² चे मूल्य मिळवा.

  • x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

पहिल्या अटमध्ये x² ला व्युत्पन्न मूल्यासह बदला.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

अशा प्रकारे दोन संख्यांचे उत्पादन (x, y) 22 आहे.


उत्तर 2:

पहिली अट:

a2+b2=80a^2+b^2=80

दुसरी अट:

(ab)2=36(a-b)^2=36

दुसर्‍या अट पासूनः

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

प्रथम अट बदलणे:

802ab=3680-2ab=36

, पुनर्रचना

2ab=8036=442ab=80-36=44

तर

2ab=442ab=44

आणि

ab=22ab=22

.

उत्तरः उत्पादन 22 आहे.

जर आपल्याला संपूर्ण सिस्टम सोडवायचा असेल तर: फरक आहे

36=6\sqrt{36}=6

, आणि उत्पादन आहे

2222

, म्हणून

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. तर, जर आपल्याकडे यावर उपाय असतील

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

आम्ही समस्या सोडवू शकतो.

साठी समाधान

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

आहे

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. तर

a=31+3a=\sqrt{31}+3

आणि

b=313b=\sqrt{31}-3

.

हे सिद्ध करणे सोपे आहे की या दोन संख्या प्रश्नांची उत्तरे आणि उत्तरांची पूर्तता करतात.


उत्तर 3:

पहिली अट:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

प्रथम अट बदलणे:

319=2231–9=22

, पुनर्रचना

x2+y2=80x^2+y^2=80

तर

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

आणि

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

जर आपल्याला संपूर्ण सिस्टम सोडवायचा असेल तर: फरक आहे

36=6\sqrt{36}=6

, आणि उत्पादन आहे

2222

, म्हणून

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. तर, जर आपल्याकडे यावर उपाय असतील

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

आम्ही समस्या सोडवू शकतो.

साठी समाधान

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

आहे

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. तर

a=31+3a=\sqrt{31}+3

आणि

b=313b=\sqrt{31}-3

.

हे सिद्ध करणे सोपे आहे की या दोन संख्या प्रश्नांची उत्तरे आणि उत्तरांची पूर्तता करतात.